Basiswissen

Basiswissen

In diesem Abschnitt soll Ihnen ein Überblick über die wichtigsten Ziele und Anforderungen einer Seminararbeit in der Mathematik vermittelt werden. Beachten Sie aber bitte, dass sich die Anforderungen je nach Institut, Arbeitsgruppe oder auch Dozent durchaus unterscheiden können. Besprechen Sie also in jedem Fall alle formalen Einzelheiten noch einmal mit dem/der Betreuer/in Ihrer Arbeit.

Ziele

Als Mathematiker bzw. Mathematikerin werden Sie im Beruf immer wieder Vorträge halten müssen. Nun ist es Ihnen – beispielsweise wegen der zeitlichen Einschränkungen eines Vortrags – nicht immer möglich, Ihre Arbeit in all Ihren Einzelheiten darzustellen. Stattdessen konzentrieren Sie sich bei den Vorträgen meist auf Ihre Ideen und die Ergebnisse. Eine detaillierte Ausarbeitung müssen Sie dennoch formulieren und Interessierten mitgeben können.

Als Vorbereitung auf die Erstellung solcher „Handouts“ dienen Ihnen die Seminararbeiten. Dabei ist das Erlernen dreier Kompetenzen maßgeblich.

Erlernen des Umgangs mit formeldarstellenden Programmen

Ihre Seminararbeit werden Sie in der Mathematik im Regelfall nur selten mit Word schreiben. Zwar bieten auch herkömmliche Programme Zusätze, mit denen Sie Formeln darstellen können, doch meist sind die Möglichkeiten dabei eher eingeschränkt und schlecht handhabbar. Ein häufig verwendetes Programm, mit dem Sie Texte verfassen können, bei denen Sie leicht auch Formeln und andere mathematische Ausdrücke implementieren können, ist LaTex. (Manche Seminarleiter fordern gar, dass Sie Ihre Arbeit mit LaTex schreiben.) Dieses Modul führt nicht in den Umgang mit diesen Programmen ein – da werden Sie aber schnell im Internet fündig.

Das selbstständige Erarbeiten von Argumentationen

Damit sind genaugenommen zweierlei Dinge gemeint:

  • Selbstständiges Verstehen einer fremden Argumentation: Das tun Sie zwar tagtäglich in der Vorlesung, allerdings hilft Ihnen an dieser Stelle nicht mehr der Vortrag des Professors. Zudem sind Artikel in mathematischen Fachzeitschriften häufig aufgrund der eingeschränkten Seitenzahl lückenhaft bzw. erschien dem jeweiligen Autor ein Argumentationsschritt „offensichtlich“, ohne dass er es tatsächlich war. Ihre Aufgabe ist es auch, diese Lücken nachzuvollziehen.
  • Selbstständiges Erarbeiten einer eigenen Argumentation: Der Grad, in dem von Ihnen verlangt wird, eine eigene Argumentation auszuführen, hängt von Ihrem Fortschritt im Studium ab: In einer ersten Proseminararbeit genügt es meist, wenn Sie sich nur eine eigene Form der Präsentation der Inhalte eines Textes einfallen lassen. In einer Masterarbeit ist die Hoffnung mancher Professoren bereits, dass Sie eigene Ergebnisse erzielen, die sich vielleicht sogar veröffentlichen lassen.

Genaue Darstellung von Argumentationsgängen

Mathematik betreiben ist logisches Argumentieren. Zu diesem Argumentieren gehören

  • Präzision
  • Lückenlosigkeit
  • logische Richtigkeit

In Ihrem Kopf können diese Punkte in ihrer Argumentation genau erfüllt, und dennoch von anderen nicht erkannt werden. Sie müssen also lernen, Ihre Argumentationen derart aufzuschreiben und zu präsentieren, dass sie von anderen verstanden werden können. Natürlich üben Sie eine solche Darstellung bereits in Klausuren, allerdings sind die Anforderungen in Seminararbeiten zumeist höher. Immerhin haben Sie auch wesentlich länger Zeit, an der Form Ihrer Arbeit zu feilen!

Grundstruktur

Da mathematische Texte in der Regel etwas kürzer sind als Hausarbeiten in anderen geisteswissenschaftlichen Fächern, hat sich folgende grobe Gliederung etabliert:

  • Kopf (bzw. bei längeren Arbeiten: Deckblatt)
  • Einleitung
  • Hauptteil, sprich: Mathematischer Inhalt nach dem oben genannten Aufbau von, Definition, Lemma, Satz, Beweis + eventuell Anwendung
  • Abschluss
  • Literaturverzeichnis
  • ggf. Abbildungsverzeichnis

Kopf bzw. Deckblatt

Auf ein Deckblatt kann bei kürzeren Arbeiten (bis ca. 4 Seiten) in der Regel verzichtet werden. Wichtig ist jedoch, dass Ihr Kopf dann folgende Informationen enthält:

  • Name der Hochschule
  • Bezeichnung des Studiengangs
  • Name, Vorname
  • Titel der Ausarbeitung
  • Name des/der Seminarleiter/in
  • Abgabedatum

Einleitung

Eine Einleitung bietet sich an, um folgende Punkte darzustellen:

  • Thema der Arbeit
  • ggf. historische Einordnung
  • kurze Erläuterung der Vorgehensweise in der Argumentation

Hauptteil

In den Hauptteil gehören sämtliche

  • Definitionen
  • Lemmata (und ihre Beweise)
  • Sätze (und ihre Beweise)
  • Anwendungen

die Sie darstellen wollen. Das Spiel aus Definitionen, Lemmata (Hilfssätzen), Satz und Beweis kennen Sie vermutlich bereits aus den Vorlesungen bzw. den dazugehörigen Skripten. Dieses Zusammenspiel lässt sich mit dem Aufbau eines Hauses vergleichen:

Fundament: Definitionen

Pfeiler: Lemmata

Wände: Sätze

Dach: Theorem (sprich: die zentrale Aussage Ihrer Arbeit)

Interieur: Anwendungen

Daraus ergibt sich häufig auch die Reihenfolge, in der Sie diese Punkte nennen, sprich: Definitionen zu Beginn, dann Lemmata (falls nötig) usw. Beachten Sie aber bitte, dass dies keine statische Aufteilung darstellt. Sie werden immer wieder auf Fälle stoßen, in denen Sie beispielsweise nach Beweis eines Lemmas eine weitere Definition einführen.

Beispiel: In einem Lemma beweisen Sie die Existenz eines bestimmten mathematischen Objektes, mit dem Sie weiterarbeiten wollen. Zur Vereinfachung geben Sie diesem Objekt nun in einer Definition einen Namen.

Aufteilung in weitere Gliederungspunkte?

Ob Sie den Hauptteil in weitere Unterkapitel trennen wollen, ist dabei häufig Ihnen überlassen. In kürzeren Arbeiten, in denen ein zentrales Theorem bzw. eine zentrale Aussage im Mittelpunkt steht, ist dies selten nötig. Eine mögliche Feingliederung wäre die Einteilung in theoretische Grundlagen und Anwendungen, wenn Sie ein eher anwendungsorientiertes Thema wählen bzw. zugewiesen bekommen.

Abschluss

In einem kurzen Abschluss können Sie noch einmal das Gezeigte rekapitulieren und bereits andeuten, welche nächsten Schritte an die Ergebnisse Ihrer Arbeit anschließen könnten.

Literaturverzeichnis

Im Literaturverzeichnis führen Sie sämtliche von Ihnen im Text selbst verwerteten Quellen auf (d. h. im Übrigen: nicht alle, die Sie zur Vorbereitung gelesen haben). Insbesondere befreit eine Angabe der Quelle im Text selbst nicht von der Pflicht, die Quelle im Literaturverzeichnis anzugeben. In welcher Form Sie die Quellenangabe gestalten und insbesondere welche Informationen Sie mitgeben müssen, besprechen Sie am besten mit Ihrem Dozenten.

Abbildungsverzeichnis

Dieses enthält Quellenhinweise für die von Ihnen verwendeten Abbildungen. Die Reihenfolge der Quellennennung hält sich an die Reihenfolge, in der die Quellen im Text vorkommen. Eigens erstellte Abbildungen müssen nicht aufgeführt werden.

Zitation

Grundlegende Regeln

Zum richtigen Zitieren finden Sie im Internet sehr viele – sich teilweise auch einander widersprechende – Ratgeber. Einige dieser Widersprüche lassen sich auf die Existenz unterschiedlicher Fachkulturen und -bedürfnisse zurückführen. Grundsätzlich gilt:

  • Wer den Wortlaut der Quelle übernimmt, muss dies als Zitat kenntlich machen! Die übernommene Phrase wird in Anführungszeichen gesetzt, eine Quellennennung folgt unmittelbar nach dem Zitat als Klammer im Text oder in Form einer Fußnote.
  • Auch indirekte Zitate – also solche Textabschnitte, in denen man den Inhalt einer Quelle übernimmt, ohne sie wortwörtlich zu zitieren – müssen als solche markiert werden! Auch dies erfolgt durch eine Klammer oder eine Fußnote.
  • Grundlegende Fakten müssen nicht belegt werden!

Allerdings müssen diese Regeln teilweise an die Bedürfnisse der Mathematik angepasst werden.

Anpassung der Regeln an mathematische Eigenheiten

Faustregel: Man muss alles belegen, was man selbst nicht wissen kann!

In der Mathematik ist es bei der Belegpflicht besonders wichtig, wer für wen schreibt.

Beispiel 1: Ein Professor, der einen Fachartikel über sein Forschungsgebiet schreibt und in einem Journal über genau dieses Fachgebiet veröffentlichen will, muss nicht sämtliche Grundlagenaussagen dieses Fachgebiets zitieren.

Beispiel 2: Wenn ein Student in einer Seminararbeit die Grundlagen des in Beispiel 1 genannten Gebiets erarbeitet, muss er selbst alles, was er nicht selbst beweist, zitieren. Führen Sie allerdings den Gruppenbegriff ein, so müssen Sie diesen nicht mehr belegen, denn er kann getrost als „grundlegender Fakt“ verstanden werden.

Grundbausteine der mathematischen Sprache

Es gibt in jedem Beweis solche Satzbausteine, die Sie als grundlegende Formulierungen wahrnehmen. (Beispiel: „Sei X eine Menge.“) Solche Satzbausteine dürfen Sie wörtlich aus dem Beweis übernehmen, ohne sie als wörtliches Zitat kennzeichnen zu müssen.

Belegpflicht bei Definitionen

Definitionen sind keine Aussagen, die bewiesen werden müssen, sondern lediglich Festsetzungen, wie ein mathematisches Objekt benannt wird. Dementsprechend können Sie bei Definitionen etwas lockerer mit der Belegpflicht umgehen.

Achtung!

Hier ist es Ihre Eigenleistung, zu erkennen, wann eine Definition so eng an einen bestimmten Ansatz gebunden ist, dass Sie auf den Urheber dieses Ansatzes verweisen müssen.

Verwendung einer Quelle während eines Beweises

Insbesondere während eines Beweises werden Unterbrechungen durch Quellenangaben oftmals als den Leserfluss störend empfunden. Es eignet sich also ungemein, zu Beginn klarzustellen, aus welcher Quelle man die Argumentation übernimmt. Dies nimmt Ihnen dann (bei Einverständnis des Dozenten) auch die Pflicht ab, während des Beweises weitere Quellenangaben zu machen.